在以前计算星球的潮汐形变时，张朝阳曾使用月球引力势在地球附近的勒让德展开式，那这个展开式是怎么得到的呢？3月16日12时，《张朝阳的物理课》第二百七十八期开播，搜狐创始人、董事局***兼CEO、麻省理工物理学博士张朝阳坐镇搜狐***直播间，为网友们介绍了线性性、函数空间的正交基、各种函数展开式等之间的内在联系，重温了月球引力势在地球附近的勒让德展开式，并通过求解拉普拉斯方程推导得到其中的展开系数，为推导潮汐形变所需的数学基础做了必要补充。

复习函数空间上的正交基展开

张朝阳先介绍了物理世界中的多种线性方程例子，包括量子力学、牛顿引力势的方程、波动方程等等。其中一部分的线性结构来源于严格的理论基础，比如量子力学中的线性性。而另外一些线性结构则来源于理论近似，比如引力势所满足的泊松方程、机械波满足的波动方程等等。正是因为这些线性结构，使得方程的解满足叠加原理，解空间构成了线性空间。

如果线性方程所对应的算子还满足特定的条件，以及给方程的解加上适当的边界条件，那么可以在解空间中引入内积使其成为希尔伯特空间，于是人们可以谈论任一个解在标准正交基下的展开式。之前直播课中介绍过的勒让德函数、球贝塞尔函数，都是正交基的例子。

为了介绍得更清楚一些，张朝阳举了量子力学中的薛定谔方程为例。自由粒子在坐标表象下的定态薛定谔方程为

如果令E=ℏ²k²/(2m)，那么上述方程可以被写为

在球坐标下重写这个方程，那么可以得到

在物理学上对这种方程的处理经常会使用分离变量法，比如预设形如 f(r)g(θ)φ(ϕ) 的解，代入上述方程，可以依据变量分离性得到三个本征方程。其中关于 φ(ϕ) 的本征方程是最简单的，其解就是指数函数。而对于 g(θ)，相应的本征方程为

如果定义 x=cos(θ)，那么上述方程能被改写为著名的连带勒让德方程：

在满足适当的边界条件下，上述方程的解为连带勒让德函数 P_l^m(x)。如果 m=0，那么就能得到勒让德多项式，换言之勒让德多项式 P_l(x) 满足如下方程

前面得到的这些都是角向有关的方程，而对于径向方程，那么有

在适当的边界条件下，该方程会得到球贝塞尔函数 j_l(kr)。

（张朝阳复习分离变量法处理自由粒子定态薛定谔方程）

前述这些函数都满足特定的正交关系，于是都能被用作展开基。对于自由粒子的定态波函数，可以使用这些函数展开成这样：

其中，A_{lm}(k) 是展开系数。严格来说，上式中对k并非是求和，而应该是积分。

月球引力势在地球附近的展开式

前面介绍的都是此前几节课强调过的内容，为了进一步说明这一整套方法的强大能力，张朝阳转而介绍起直播课之前使用过的引力展开式。具体来说，***设月球到地球的距离为 a，如下图所示：

以地球为中心、以地球指向月球的方向为极轴建立球坐标系。那么对于空间中任一点，它到月球的距离为

于是，月球在该点处的引力势为

在张朝阳以前推导月球对地球的潮汐形变时，使用过这个引力势，并且还使用了它在 r<a 情况下的展开式，结果为

从现在的视角来看，这其实就是引力势函数的勒让德展开式。对于定义在 [-1,1] 上的、性质优良的函数 f(x)，它都可以用勒让德多项式展开为

这主要是因为勒让德多项式构成一组完备的正交基，满足

其中的 A_n 需要依据勒让德多项式的具体定义才能算出来，不过可以确定的是，每一个 A_n 都大于零。借助勒让德多项式的正交关系，可以得到式(1)中 f(x) 的展开系数 c_n 为

如果将此处的讨论结果运用在前面介绍的月球引力势中，那么有

其中的 α=r/a 为小于 1 的正数。于是，展开系数的表达式为

如果知道了每一阶勒让德多项式的具体表达式，那么这个积分是可以被积出来的。但是那样的过程也不简洁，而且可能涉及到繁杂的归纳过程。

（张朝阳介绍月球引力势在地球附近的勒让德展开）

物理视角求引力势的勒让德展开系数

为了绕开直接求积分所面临的困难，张朝阳选择了一条独特的路径来进行。既然勒让德多项式来自于 m=0 的连带勒让德方程，而 m=0 对应的其实是绕极轴旋转对称的情况。从地球上来看，月球的引力势也确实是绕地月连线旋转对称的。因此，完全可以直接分离变量法求月球引力势的泊松方程，这会直接得到勒让德展开的形式。

在前述坐标系统下，月球引力势满足的泊松方程为

当 r≠a 时，方程变为

考虑到绕极轴的旋转对称性，该方程的球坐标形式为

如前面介绍的那样，使用分离变量法的话，角向会给出勒让德多项式，而径向方程则是

该方程有非常标准的求解方法，那就是通过比奈变换来求解。定义

那么式(2)能被改写成如下形式：

它的通解为

于是 f(r) 的通解为

但是考虑到坐标原点是地球中心，月球在地球位置的引力势是没有奇点的，于是 f(r) 在 r=0 处必定不能发散，由此可知上式中 a_2=0 ，换言之有

由此可以得到月球引力势的一般解为

接下来还需要求出这里的系数 c_l 。在这里也不必借助正交关系来求，而是选择一个特定的“边界”，让 ϕ 的表达式与真实的引力势做对照即可。比如选择 θ=0，这其实就对应着极轴，此处的引力势为

而当 θ=0 时，式(3)成为

这意味着需要求出各阶勒让德多项式在 x=1 处的值才行。张朝阳在此使用了勒让德多项式的递推关系：

这个递推关系可以通过勒让德方程结合勒让德多项式的定义来证明。对于 x=1，递推关系成了

张朝阳提醒大家，对于 l=0 和 l=1，有

而一旦***设

那么从递推关系立即能得到

这说明对于所有阶的勒让德多项式，其在 x=1 处的函数值都是 1。于是，式(5)可以写为

将其与式(4)对比，立即得到

由此即证明了月球引力势在地球附近的勒让德展开式：

（张朝阳求解出引力势的勒让德展开系数）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐***直播，网友可以在搜狐***APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整***回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短***；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多